Главная - Экономические - Мат. мет. в экономике - Линейная производственная задача

Линейная производственная задача

  • Тема: Линейная производственная задача
  • Автор: Юлия
  • Тип работы: Курсовая
  • Предмет: Мат. мет. в экономике
  • Страниц: 67
  • Год сдачи: 2008
  • ВУЗ, город: ГУУ
  • Цена(руб.): 1500 рублей

Купить
Заказать оригинальную работу


Выдержка

Иными словами, при второй игрок будет выбирать свою вторую стратегию и первый игрок будет выигрывать , при второй игрок будет выбирать первую стратегию и первый игрок будет выигрывать . Наилучший для первого игрока выбор при этом соответствует . В нашем случае оптимальной смешанной стратегией первого игрока является стратегия:

(она определяется из условия ), при этом цена игры равна
.
Отметим, что второй игрок, действуя разумно, никогда не будет выбирать третью и четвертую стратегии, поэтому вектор оптимальной смешанной стратегии второго игрока имеет вид:
.
Тогда выигрыш второго игрока равен , если первый игрок выбирает свою первую стратегию, и , если первый игрок выбирает свою вторую стратегию. Значение определяется из условия
, оно равно .
Итак, оптимальная смешанная стратегия второго игрока равна:
.
Найдем оптимальные смешанные стратегии с помощью сведения матричной игры к паре взаимно двойственных задач линейного программирования.
От платежной матрицы П путем добавления положительного числа перейдем к матрице :

все элементы которой положительны.
Пара двойственных задач линейного программирования будет такой:

Оптимальные решения этих задач равны:
и
Оптимальные смешанные стратегии игроков
и
а цена игры


15. Биматричная игра. Каждое из двух конкурирующих предприятий имеет по две стратегии рыночного поведения. Прибыли предприятий (в млн. руб.) при условии, что первое предприятие изберет стратегию i(i = 1, 2), а второе предприятие стратегию j (j = 1, 2), равны соответственно aij и bij. Платежные матрицы П(1) =(aij) и П(2) =(bij):

Требуется найти максиминные стратегии предприятий и равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
Решение
Смешанные стратегии предприятий можно представить в виде:

(здесь ). При этом, математические ожидания предприятий равны соответственно:

Максиминные стратегии предприятий определяются из условий:

Таким образом, максиминные стратегии первого и второго предприятий равны соответственно:

Множество всех возможных пар выигрышей предприятий четырехугольником АBСD (рис.15.1)

Рис.15.1
Очевидно, множество Парето, как и переговорное множество соответствует отрезку ВС.
Прямая, проходящая через точки В(2;1) и С(1;8) задается уравнением
,
поэтому функция Нэша

на отрезке достигает максимума в точке . При этом . Эта точка на рисунке 15.1 обозначена .
Точка является выпуклой комбинацией точек В(2;1) и С(1;8), то есть

откуда .
Точка G означает, что первое предприятие выбирает свою первую чистую стратегию, а второе с вероятностью -первую, и с вероятностью - вторую чистую стратегию.
Таким образом, максиминные стратегии первого и второго предприятий, равновесные по Нэшу равны соответственно

При этом средний выигрыш первого предприятия равен , а второго -


16. Оптимальный портфель ценных бумаг. Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно r1 и r2, риски и, , а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен .

Решение
Введем данные в рабочий лист Micrisoft Excel (рис.16.1). Пусть ячейки В9 и В10 соответствуют долям рисковых вложений , в ячейку В8, соответствующую доле безрисковых вложений , введем формулу соответствующую разности всех вложений (единицы) и вложений в акции , в ячейку В12 ведем формулу для ожидаемой эффективности портфеля МЕπ, а в ячейку В13 введем формулу для дисперсии эффективности портфеля DЕπ. Учтем, что .

Рис.16.1
Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Поиск решения», и в появившемся окне (рис.16.2) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14(в которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному значению, изменяя ячейки $В$10:$B$11 (в которых находятся доли рисковых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограничение $В$13:$B$7.

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОГО ПРОЕКТА

1. Линейная производственная задача. 3
2. Задача о расшивке узких мест производства 12
3. Целочисленная задача о расшивке узких мест производства 15
4. Транспортная задача линейного программирования 15
5. Нелинейное программирование 22
9. Задача о кратчайшем пути 48
10. Задача о критическом пути 50
11 Оптимальность по Парето 53
12 Многокритериальная оптимизация 54
13. Принятие решений в условиях неопределенности 57
14. Матричная игра 59
15. Биматричная игра 62
16. Оптимальный портфель ценных бумаг 64
17. Рациональная стоимость опционов 67



1. Линейная производственная задача. Предприятие может выпус¬кать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица

затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции [эле¬мент aij этой матрицы равен количеству ресурса i-го вида (i = 1, 2, 3), ко¬торое необходимо затратить в процессе производства единицы продук¬ции j-го вида (j = 1, 2, 3, 4)], вектор

объемов ресурсов и вектор

удельной прибыли на единицу продукции.
Требуется составить производственную программу, обеспечивающую предприятию наибольшую прибыль с учетом ограниченности запасов ре¬сурсов.
Для этого необходимо обсудить экономическое содержание линейной производственной задачи и сформулировать ее математическую модель, преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного про¬граммирования, решить ее симплексным методом, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и определить узкие места производства (дефицитные ресурсы).
Затем требуется сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, обсудить ее экономическое содержание и запи¬сать математическую модель, после чего найти решение двойственной задачи, пользуясь второй основной теоремой двойственности, обосновав экономический смысл этой теоремы.
Указать оптимальную производственную программу и оценки техноло¬гий, максимальную прибыль и минимальную суммарную оценку всех ре¬сурсов, остатки и двойственные оценки ресурсов и обсудить экономиче¬ский смысл всех этих величин.
После этого необходимо с помощью надстройки «Поиск решения», паке¬та Microsoft Excel, проверить правильность решения задачи и, кроме того, определить границы, в которых могут изменяться коэффициенты целе¬вой функции, в пределах которых не изменяется ассортимент выпускае¬мой продукции, и границы, в которых могут изменяться правые части ог¬раничений, в пределах которых сохраняется устойчивость двойственных оценок.
Решение
Математическая модель задачи такова. Требуется найти про¬изводственную программу

максимизирующую прибыль

при ограничениях по ресурсам

где по смыслу задачи

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему не¬равенств при помощи дополнительных неотрицательных неизвестных x5, x6,x7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

в которой дополнительные переменные x 5, x 6 и x7 имеют смысл остатков ресурсов (соответственно первого, второго и третьего вида). Среди всех реше¬ний системы уравнений, удовлетворяющих условиям неотрицательности , нужно найти то решение, при котором целевая функция примет наи¬большее значение.
Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы неотри¬цательны, а сама система имеет предпочитаемый вид дополнительные переменные являются базисными. Поэтому можно применить симплекс¬ный метод. Процесс решения записан в виде последовательности сим¬плексных таблиц (табл. 1).
Таблица 1.1
c Базис h 27 39 18 20 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x5 140 2 1 6 5 1 0 0
0 x6 90 0 3 0 4 0 1 0
0 x7 198 3 2 4 0 0 0 1
z0-z 0-z -27 -39 -18 -20 0 0 0
0 x5 110 2 0 6 11/3 1 -1/3 0
39 x2 30 0 1 0 4/3 0 1/3 0
0 x7 138 3 0 4 -8/3 0 -2/3 1
z0-z 1170-z -27 0 -18 32 0 13 0
0 x5 18 0 0 10/3 49/9 1 1/9 -2/3
39 x2 30 0 1 0 4/3 0 1/3 0
27 x1 46 1 0 4/3 -8/9 0 -2/9 1/3
z0-z 2412-z 0 0 18 8 0 7 9

Для первой симплекс таблицы

и
.
Для второй симплекс таблицы
и
Как видно из последней симплексной таблицы, оптимальной является производственная программа x1 = 46; x2 = 30; x3 = 0; x4 = 0, обеспечивающая предприятию наибольшую прибыль zmax = 2412; при этом остаток ресурса первого вида x5 = 18, второго вида x6 = 0, третьего вида x7 = 0.
Оценочные коэффициенты ∆1, ∆, ∆3 и ∆4 имеют смысл оценок технологий и показывают, насколько уменьшится прибыль, если произвести единицу соотетствующей продукции. Напри¬мер, коэффициент ∆3 = 18 при переменной x3 показывает, что если произ¬вести одну единицу продукции третьего вида (она не входит в оптималь¬ную производственную программу), то прибыль уменьшится на 18 единиц.
Оставшиеся коэффициенты ∆5, ∆6 и ∆7 имеют смысл двойственных оце-нок ресурсов и показывают, насколько возрастет прибыль, если первона¬чальные запасы соответствующего ресурса увеличить на единицу. Так, увеличение на единицу запаса второго ресурса приведет к увеличению прибыли на ∆ = 7 единиц.
Двойственные оценки представляют собой оптимальное решение зада¬чи, двойственной к исходной задаче планирования производства: это такие внутренние цены y 1, y 2, y 3 , что суммарная внутренняя стоимость всех имеющихся ресурсов минимальна при условии, что внут¬ренняя стоимость ресурсов, из которых можно изготовить единицу про¬дукции каждого вида, не меньше той цены, по которой единицу соответ¬ствующей продукции можно продать на рынке.
Для производства единицы продукции первого вида мы должны затра¬тить, как видно из матрицы A, 2 единицы ресурса первого вида, 0 едини¬ц ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах y1,y2,y3 наши затраты составят 2y 1 +0y2 +3y3. При реа¬лизации единицы первой продукции на рынке мы получили бы прибыль
27 руб. Следовательно, внутренняя оценка стоимости ресурсов, из кото¬рых можно изготовить единицу первого продукта (2y1 +0y2 +3y3), должна составлять не менее 27 руб. Аналогичные условия должны выполняться и для всех остальных видов продукции.
При этом суммарная оценка всех имеющихся ресурсов 140y1 +90y2 +198y3 должна быть минимальной.
Окончательно двойственная задача формулируется так: требуется найти вектор двойственных оценок

минимизирующий общую оценку всех ресурсов

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ре¬сурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

при чем оценки ресурсов не могут быть отрицательными:

Запишем вторую основную теорему двойственности для этой задачи:

И подставим в эти уравнения уже известную оптимальную производственную программу x1 = 46; x2 = 30; x3 = 0; x4 = 0:

Первое из этих уравнений означает, что поскольку первый ресурс используется не полностью (при выполнении оптимальной производственной программы расходуется 122 единицы из 140), его двойственная оценка .
Итак,

Решив систему уравнений, получим окончательно, что
Теперь получим решение этой же задачи в пакете Microsoft Excel. Вве¬дем исходные данные в рабочий лист Microsoft Excel. Введем исходные данные (Рис.1.1):

Литература

нет

Купить
Заказать оригинальную работу


Похожие работы

Название Тип Год сдачи Страниц ВУЗ, город Цена
Оптимизация инвестиционного портфеля Курсовая 2008 12 Московский Гуманитарный Университет 1500 Купить Заказать
оригинальную
Отраслевая балансовая модель Курсовая 2008 17 МосГУ 1500 Купить Заказать
оригинальную
Функция полезности Курсовая 2008 23 Москва 1500 Купить Заказать
оригинальную
Методы и модели системы массового обслуживания. Курсовая 2005 27 ШАХТЫ 900 Купить Заказать
оригинальную
Анализ процессов инфляции на примере Российской Федерации. Курсовая 2009 43 Владивосток 1000 Купить Заказать
оригинальную
Мат.методы в экономике Курсовая 2009 23 Балашиха 1500 Купить Заказать
оригинальную
Мат.методы в экономике Курсовая 2009 69 ГУУ 1500 Купить Заказать
оригинальную
Математ.статистика,Проверка статист.гипотиз Курсовая 2009 5 'МАТИ' РГТУ им.К.Э.Циолковского 1500 Купить Заказать
оригинальную
Математические методы в экономике Курсовая 2009 45 МГТУ 'МАМИ' 1500 Купить Заказать
оригинальную
Мат. мет. в экономике Курсовая 2009 38 МГТУ 'МАМИ' 1500 Купить Заказать
оригинальную